Question

9．在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂），分别过P₁、P₂坐x轴和y轴的垂线；
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，我们把|x₁-x₂|叫点P₁与点P₂的“相对距离”；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，我们把|y₁-y₂|叫点P₁与点P₂的“相对距离”．
例如：图甲：点P₁（1，2），点P₂（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P₁与点P₂的“相对距离”为|2-5|=3，（点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x轴的直线P₂Q的交点）．
（1）已知点A（-1，0），B为y轴上的一个动点，若点A与点B的“相对距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；
（2）已知C是直线$y=\frac{3}{4}x+3$上的一个动点．
①如图乙，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“相对距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图丙，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的“相对距离”的最小值及相应的点C与点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出B点坐标，根据相对距离的定义可求得B点坐标；
（2）①先确定出C点的位置，由C在直线$y=\frac{3}{4}x+3$上，设出C点坐标，由条件可求得C点坐标及相对距离的最小值；②根据函数图象上的点满足函数解析式，可得C点坐标，E点坐标，根据相对距离的定义，可得答案．

解答 解：（1）B的坐标为：（0，2）或（0，-2）；
（2）①过C点作x轴的垂线，过D点作y轴的垂线，两条垂线交于点M，
连结CD，当点C在点D的左上方且使△CMD为等腰直角三角形时，点C与点D的“相对距离”最小
设点C的坐标（x_c，$\frac{3}{4}$x_c+3），由CM=MD得$\frac{3}{4}$x_c+3-1=-x_c
解得：x_c=-$\frac{8}{7}$，
∴点C的坐标为（-$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
CM=CD=|x_D-x_c|=$\frac{8}{7}$，
∴点C与点D的“相对距离”的最小值为$\frac{8}{7}$，相应的C的坐标为（-$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）；
②点C与点E的“相对距离”的最小值为1，相应的点E的坐标为（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），点C的坐标为（-$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了相对距离的定义，利用等腰直角三角形时两点间的相对距离最小是解题关键．