Question

5．如图，正方形ABCD的边长为18，正三角形EFG内接于此正方形，且E、F、G分别在边AB、AD、BC上，若AE=12，则BG=10$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，首先利用四点共圆证明△ABK是等边三角形，在Rt△EMK中求出EK，再求出EG，最后在Rt△EBG中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图，作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，
∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°，
∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，
∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°，
∴△ABK是等边三角形，
∴AB=AK=KB=18，
作KM⊥AB，则M为AB的中点，
∴KM=AK•sin60°=9$\sqrt{3}$，
∵AE=12，AM=9，
∴EM=12-9=3，EB=18=12=6，
∴EK=$\sqrt{M{K}^{2}+M{E}^{2}}$=6$\sqrt{7}$，
∴EG=$\frac{EK}{sin60°}$=4$\sqrt{21}$，
在Rt△EGB中，BG=$\sqrt{E{G}^{2}-E{B}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{21}）^{2}-{6}^{2}}$=10$\sqrt{3}$．
故答案为10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理解决问题，本题用到四点共圆是个难点，属于中考压轴题．