Question

13．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE=∠CAD．
（1）求证：CD²=AC•EC；
（2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若AE=EC，求tanB的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定和性质定理证明；
（2）证明BA⊥AC，证明结论；
（3）根据相似三角形的性质得到CD=$\sqrt{2}$CE，证明△CDE∽△CAD，根据相似三角形的性质解答即可．

解答 （1）证明：∵∠CDE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CD}$，
∴CD²=CA•CE；
（2）AC与⊙O相切，
证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB=∠CDE，∠CDE=∠CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC与⊙O相切；
（3）解：∵AE=EC，
∴CD²=CA•CE=（AE+CE）•CE=2CE²，
∴CD=$\sqrt{2}$CE，
∵△CDE∽△CAD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{CD}=\frac{CE}{{\sqrt{2}CE}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵∠ADE=180°-∠ADB=90°，∠B=∠CAD，
∴tan B=tan∠CAD=$\frac{DE}{AD}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆的切线的判定定理、相似三角形的判定和性质定理、锐角三角函数的概念是解题的关键．