Question

7．某服装厂销售一种成本为50元的衬衣，规定销售的单价不得低于成本价，又不能高于70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）设厂家获得的总利润（总利润=总销售额-成本）为w，求w与x之间的函数关系式．
（3）当销售价为何值时，销售利润最大，求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）根据“两点法”列方程组求k、b的值即可；
（2）根据：利润M=（销售单价-成本单价）×销售量y，列函数式即可；
（3）根据利润M的函数关系式，结合函数的性质，求最大利润．

解答 解：（1）把点（60，400），（70，300）代入y=kx+b中，得
$\left\{\begin{array}{l}{60k+b=400}\\{70k+b=300}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=1000}\end{array}\right.$，
∴y=-10x+1000（50≤x≤70）；
（2）M=（x-50）y=（x-50）（-10x+1000）
即：M=-10x²+1500x-50000（50≤x≤70）；
（3）因为M=-10x²+1500x-50000=-10（x-75）²+6250，-10＜0，抛物线开口向下，对称轴是x=75，
所以当50≤x≤70时，M随x的增大而增大，
所以当x=70时，M的值最大，最大值为M=-10（70-75）²+6250=6000．
所以销售单价定为70元时，该商场可获得最大利润为6000元．

点评 本题考查了实际问题中，一次函数、二次函数解析式的求法，二次函数性质的运用，熟悉运用二次函数顶点坐标求实际问题最值模型是解决问题的关键．