Question

11．如图，在平面直角坐标系中，放置一直角三角形OAB，顶点坐标为A（0，-2），O（0，0）∠OAB=90°，∠AOB=30°，将此三角形绕原点O逆时针旋转60°，得到△OCD．若一抛物线恰好经过O、C、D三点，与OB相交于点E．
（1）求C、D两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）连接CE，求四边形OEC D 的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使O、E、P三点构成直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先依据特殊锐角三角函数值求得OB的长，依据旋转的性质可得到CO和OD的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得点C的坐标，然后将点C和点D的坐标代入抛物线的解析式可求得抛物线的解析式；
（2）先求得直线OB的解析式，然后将y=-$\sqrt{3}$x与y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x联立，可求得点E的坐标，然后依据梯形的面积公式可求得OECD的面积；
（3）当∠POE=90°时，可先求得OP的解析式，然后可求得点P的坐标，当∠P′EO=90°，先求得EP′的解析式可求得点P′的坐标，由OP≥OF≥OE，可知∠OPE≠90°．

解答 解：（1）∵A（0，-2），O（0，0），
∴OA=2．
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，OA=2，
∴OB=OA÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
由旋转的性质可知：OD=OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OC=OA=2，∠AOB=∠COD=30°．
∴D（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），点C的横坐标=cos30°•OC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，点C的纵坐标=sin30°•OC=1．
∴C（$\sqrt{3}$，-1）．
设抛物线的解析式为y=ax（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），将点C的坐标代入得：$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）a=-1，解得：a=1．
∴抛物线的解析式为y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x．

（2）∵∠AOB=30°，且OB经过二四象限，
∴k=-$\sqrt{3}$．
∴直线OB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x．
将y=-$\sqrt{3}$x与y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x联立，解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，y=-1．
∴点E的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1）．
∴CE∥x轴．
∵EC=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，梯形的高=1，
∴四边形OECD 的面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）×1=$\sqrt{3}$．

（3）如图1所示：

∵OE⊥OP，OE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x，
∴直线OP的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由抛物线的对称轴方程可知x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
将x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入抛物线的解析式得：y=$\frac{2}{3}$，
∴点P的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
设直线EP′的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，将点E的坐标代入得：$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+b=-1，解得b=-$\frac{4}{3}$．
∴直线EP′的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
将x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入得：y=-$\frac{2}{3}$．
∴点P′的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．
∵OP≥OF≥OE，
∴∠OPE≠90°．
综上所述，点P的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的图象和性质、旋转的性质、特殊锐角三角函数值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．