Question

6．如图，四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，连接AG、CE，M为AG的中点，连接MD．
（1）如图①，当A、D、E三点共线时，DM与CE的数量关系是DM=$\frac{1}{2}$CE，位置关系是DM⊥CE；
（2）如图②，当A、D、E三点不共线时，（1）的结论是否成立？说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明△ADG≌△CDE，可得：AG=CE，根据直接三角形形斜边的中线等于斜边的一半，进而可得：DM=MG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$CE；
（2）延长DM至点N，使MN=DM，连接AN，构造△AMN≌△GMD，证明AN∥GD，利用平行线的性质证明∠NAD=∠CDE；再证明△ADN≌△DCE，进而可证得结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，
∴AD=CD，DG=DE，∠ADG=∠CDE=90°，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG=CE，∠5=∠4，
∵M是AG的中点，
∴DM=MG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}$CE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠5=∠4，
∴∠1+∠5=90°，即DM⊥CE．
故答案为：DM=$\frac{1}{2}$CE，DM⊥CE．
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
延长DM至点N，使MN=DM，连接AN，延长MD交CE于点H．
∵M是AG的中点，
∴AM=GM，
又∵∠1=∠2，
∴△AMN≌△GMD（SAS），
∴AN=DG，∠3=∠N，
∴AN∥DG，
∴∠NAD+∠ADG=180°．
∵∠GDE=90°，∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADG=180°，
∴∠NAD=∠CDE．
∵DE=DG，AN=DG，
∴DE=AN，
∴△ADN≌△DCE（SAS），
∴DN=EC，
∴DM=$\frac{1}{2}$EC．
由△ADN≌△DCE，可得：∠5=∠3，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠5+∠4=90°，
∴DM⊥EC．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．能构造全等三角形是解决第（2）小题的关键．