Question

16．如图，直线y=4-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F，则AF•BE=4．

Answer 1

分析 过点E作EC⊥OB于C，过点F作FD⊥OA于D，然后由直线y=4-x交x轴、y轴于A、B两点，求得点A与B的坐标，则可得OA=OB，即可得△AOB，△BCE，△ADF是等腰直角三角形，则可得AF•BE=$\sqrt{2}$CE•$\sqrt{2}$DF=2CE•DF，又由四边形CEPN与MDFP是矩形，可得CE=PN，DF=PM，根据反比例函数的性质即可求得答案．

解答 解：过点E作EC⊥OB于C，过点F作FD⊥OA于D，
∵直线y=4-x交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴BC=CE，AD=DF，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴四边形CEPN与MDFP是矩形，
∴CE=PN，DF=PM，
∵P是反比例函数$\frac{2}{x}$图象上的一点，
∴PN•PM=2，
∴CE•DF=2，
在Rt△BCE中，BE=$\frac{CE}{sin45°}$=$\sqrt{2}$CE，
在Rt△ADF中，AF=$\frac{DF}{sin45°}$=$\sqrt{2}$DF，
∴AF•BE=$\sqrt{2}$CE•$\sqrt{2}$DF=2CE•DF=4．
故答案为：4．

点评 此题考查了反比例函数的性质，以及矩形、等腰直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与转化思想的应用．