如图.在△ABC中.∠BAC=45°.AB=4$\sqrt{2}$cm.AC=12cm.点E从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动到点C停止.作EF⊥AC交折线AB-BC于点F.以EF为边向右作矩形EFNM.使EM=2EF．设点E的运动时间为t(s)．(1)用含t的代数式表示线段EF的长．(2)求当N落在BC上时.t的值．(3)设矩形EFNM与三角形ABC重叠部分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4$\sqrt{2}$cm，AC=12cm，点E从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动到点C停止，作EF⊥AC交折线AB-BC于点F，以EF为边向右作矩形EFNM，使EM=2EF．设点E的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段EF的长．
（2）求当N落在BC上时，t的值．
（3）设矩形EFNM与三角形ABC重叠部分图形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．
（4）在点E运动过程中，若点A关于直线EF的对称点为A₁，点C关于直线MN的对称点为C₁，以A₁C₁为边做一正方形，使他与矩形EFNM在AC的同侧，求这个正方形与矩形EFNM重叠部分图形的面积为1cm²时，t的值．

分析（1）分两种情况进行讨论：①当E在AO上运动时，如图1，②当E在AO上运动时，如图2；分别根据等腰直角三角形的性质求出EF的长；
（2）利用平行线截三角形成比例性质列比例式，求出FN的长，利用等量关系式FN=2EF，列等式求t的值；
（3）分三种情况讨论：①当0＜t≤$\frac{12}{5}$时，矩形EFNM与三角形ABC重叠部分图形就是矩形；②当$\frac{12}{5}$＜t≤4时，矩形EFNM与三角形ABC重叠部分图形是五边形，面积=矩形面积-三角形面积，如图4；③当4＜t≤12时，如图2，重叠部分图形是三角形，面积是矩形面积一半；
（4）分三种情况进行讨论：①当0＜t≤$\frac{12}{5}$时，如图5，重叠部分图形为矩形FEA₁P；②当$\frac{12}{5}$＜t≤12时，如图6和图7，重叠部分面积是正方形面积．

解答解：（1）过B作BO⊥AC于O，
∵AB=4$\sqrt{2}$，∠A=45°，
∴AO=BO=4，
当E在AO上运动时，如图1，有AE=EF=t，
∴当0＜t≤4时，EF=t，
当E在AO上运动时，如图2，有AE=t，EC=12-t，
∵△BOC∽△FEC，
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{BO}{CO}=\frac{4}{8}$，
∴$\frac{EF}{12-t}$=$\frac{1}{2}$，EF=-$\frac{1}{2}$t+6，
∴当4＜t≤12时，EF=-$\frac{1}{2}$t+6，
综上所述：①当0＜t≤4时，EF=t；
②当4＜t≤12时，EF=-$\frac{1}{2}$t+6；
（2）如图3，当N落在BC上时，AE=EF=t，
∴AF=$\sqrt{2}$t，
∴BF=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵FN∥AC，
∴$\frac{FN}{AC}=\frac{BF}{AB}$，
∴$\frac{FN}{12}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}}$，
∴FN=-3t+12，
∵FN=2EF，
∴-3t+12=2t，t=$\frac{12}{5}$；
则当N落在BC上时，t=$\frac{12}{5}$；
（3）①当0＜t≤$\frac{12}{5}$时，S=S_矩形EFNM=2t²；
②当$\frac{12}{5}$＜t≤4时，如图4，则FG=-3t+12，FE=t，
∴NG=2t-（-3t+12）=5t-12，
∵DM∥AO，
∴$\frac{DM}{AO}=\frac{CM}{CO}$，
∴$\frac{DM}{4}=\frac{12-3t}{8}$，
∴DM=6-$\frac{3}{2}$t，DN=t-（6-$\frac{3}{2}$t）=$\frac{5}{2}$t-6，
∴S=S_矩形FEMN-S_△DGN=2t²-$\frac{1}{2}$（5t-12）（$\frac{5}{2}$t-6）=$-\frac{17}{4}$t²+30t-36；
③当4＜t≤12时，如图2，S=$\frac{1}{2}$S_矩形FEMN=t²；
（4）AA₁=2t，CC₁=2（12-3t）=24-6t；
①当0＜t≤$\frac{12}{5}$时，如图5，重叠部分图形为矩形FEA₁P，
有A₁E=A₁A-AE=2t-t=t，
重叠部分面积S₁=A₁E•EF=t²；
②当$\frac{12}{5}$＜t≤4时，重叠部分面积S₁=（AA₁+CC₁-12）²=（12-4t）²，
当t=$\frac{13}{4}$或t=$\frac{11}{4}$时，S₁=1，
③当4＜t≤12时，如图7，点C与C₁重合，重叠部分面积仍然是正方形；
综上所述：当t=1或$\frac{13}{4}$或$\frac{11}{4}$．

点评本题是四边形的综合题，考查了相似形的性质和判定，以及勾股定理、函数的有关知识，解决这类综合性的题目，主要是掌握各知识点间的相互联系和分类讨论思想的运用；还要根据图形特点选择合适的面积公式，求出结果，本题综合性较强，难度较大．

练习册系列答案

相关题目

8．甲和乙一起做游戏，下列游戏规则对双方公平的是（　　）

	A．	在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一球，摸到红球甲获胜，摸到白球乙获胜；
	B．	从标有号数1到100的100张卡片中，随意抽取一张，抽到号数为奇数甲获胜，否则乙获胜；
	C．	任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于4则甲获胜，掷出的点数大于4则乙获胜；
	D．	让小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停在某块方块上，若小球停在黑色区域则甲获胜，若停在白色区域则乙获胜