Question

如图，平面直角坐标系中两条直线OC⊥BC，垂足为C，其OC=2cm，∠COB=60°，反比例函数y=

k

x

的图象过点C．
（1）求：反比例函数表达式和点B的坐标；
（2）若现有长为1cm的线段MN在线段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点O重合，N到点B停止运动），过M、N作OB的垂线分别交直线OC、BC于P、Q两点，线段MN运动的时间为ts．
①若△OMP的面积为S．求出当0＜t≤1时，S与t的函数关系式；
②线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若可能，直接写出此时t的值；若不可能，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）过点C作CD⊥OB于点D，在Rt△ODC中运用三角函数可求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入y=

k

x

，就可得到反比例函数表达式，然后在Rt△OCB中运用三角函数就可求出点B的坐标；
（2）由题可得：OM=t，MN=1，ON=t+1．①只需用t的代数式表示出PM，就可解决问题；②分别表示出PM、QN的长（用t的代数式），根据四边形MNQP为矩形时PM=QN建立关于t的方程，解这个方程就可得到t的值．

解答：解：（1）过点C作CD⊥OB于点D，如图1．

在Rt△ODC中，
∵OC=2，∠COD=60°，
∴CD=OC•sin∠COD=2×

3

2

=

3

，
OD=OC•cos∠COD=2×

1

2

=1，
∴点C的坐标为（1，

3

）．
∵反比例函数y=

k

x

的图象过点C，
∴k=1×

3

=

3

，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

．
∵OC⊥BC，
∴cos∠COB=

OC

OB

，即

1

2

=

2

OB

，
∴OB=4，
∴点B的坐标为（4，0）；

（2）由题可得：OM=1×t=t，MN=1，ON=t+1．
①当0＜t≤1时，
∵点C（1，2），
∴点P在线段OC上，如图2．

在Rt△OMP中，
PM=OM•tan∠POM=

3

t，
∴S=

1

2

OM•PM=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t²；
②t的值为

3

4

．
解题思路：求出直线OC的解析式，为y=

3

x；
求出直线BC的解析式，为y=-

3

3

x+

4 3

3

；
从而得到PM=

3

t，QN=-

3

3

（t+1）+

4 3

3

；
若四边形MNQP是矩形，则有PM=QN，如图3，

则

3

t=-

3

3

（t+1）+

4 3

3

，
解得：t=

3

4

，
此时点M、点N都在线段OB上，符合条件．

点评：本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、三角函数、矩形的性质等知识，运用三角函数是解决本题的关键．