Question

14．如图，在矩形ABCD中，已知AB=6cm，BC=8cm．将矩形ABCD绕着点D在桌面上顺时针旋转至A₁B₁C₁D，使其停靠在矩形EFGH的点E处，若∠EDF=30°，则点B的运动路径长为$\frac{10}{3}$πcm．（结果保留π）

Answer 1

分析 根据矩形的性质得AD=BC=8cm，∠BAD=∠ADC=90°，则利用勾股定理可计算出BD=10，再根据旋转的性质得∠BDB₁=∠ADA₁，而∠ADA₁=90°-∠EDF=60°，则∠BDB₁=60°，由于点B的运动路径为以点D为圆心，BD为半径的弧，所以根据弧长公式可计算出点B的运动路径长．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC=8cm，∠BAD=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，∵AB=6，BC=8，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵矩形ABCD绕着点D在桌面上顺时针旋转至A₁B₁C₁D，使其停靠在矩形EFGH的点E处，
∴∠BDB₁=∠ADA₁，
∵∠EDF=30°，
∴∠ADA₁=90°-30°=60°，
∴∠BDB₁=60°，
∴点B的运动路径长=$\frac{60•π•10}{180}$=$\frac{10}{3}$π（cm）．
故答案为$\frac{10}{3}$πcm．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长的计算．