Question

18．如图，矩形ABCD中，以AB为直径作⊙O，点E是CD的中点，连接BE交⊙O于点F，连接DF并延长交BC于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线．
（2）如果AB=8，AD=6，求DG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OF、OD．只要证明△OAD≌△OFD，推出∠A=∠5=90°即可．
（2）设GB=GF=x，则CG=6-x，DG=6+x，CD=AB=8，在Rt△GCD中，由勾股定理可得8²+（6-x）²=（6+x）²，解方程即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OF、OD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD=AB，∠A=90°，
∵OA=OB，CE=DE，
∴DE=OB，
∴OBED是平行四边形，
∴OD∥BE，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OA=OF，OD=OD，
∴△OAD≌△OFD，
∴∠A=∠5=90°，
∴DG是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A=∠ABC=90°，
∴AD、BC都是⊙O的切线，
∵DG是⊙O的切线，
∴DF=DA=6，设GB=GF=x，则CG=6-x，DG=6+x，
∵CD=AB=8，
在Rt△GCD中，由勾股定理可得8²+（6-x）²=（6+x）²，
解得x=$\frac{8}{3}$，
∴DG=6+$\frac{8}{3}$=$\frac{26}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．