题目内容
5．已知：如图，O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C，D两点，交y轴于M，N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1的半径及点E的坐标；
（2）如图1，求证：MC-MD=$\sqrt{2}$ME；
（3）如图2，AB是弦，且AB∥CD，过E作EF⊥BC于F，若A，B为$\widehat{CND}$上两动点，试问BF，CF，AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．
分析 （1）根据直线解析式解出D，M坐标，再根据△DMO∽△DCM，列比例式解出圆的直径长，连接EO1，利用直角三角形解出E点坐标．
（2）作辅助线，构建直角三角形，分别计算MC、MD和ME的长，可得结论；
（3）连接EC，过E作EH⊥AC于H，首先证∠ECF=∠ECH（可连接EA，利用圆内接四边形的性质来求），然后通过证△ECF、△ECH全等来解，再证明△EAH≌△EBF，根据对应边相等可得结论．
解答 
解：（1）如图1，∵直线DM的解析式为y=3x+3，
∴D（-1，0），M（0，3），
∴OD=1，OM=3，
∵△DMO∽△DCM，
∴$\frac{OD}{DM}=\frac{DM}{CD}$，
∴OD•CD=DM•DM，DM=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$，
∴CD=$\sqrt{10}•\sqrt{10}$，
∴CD=10，半径为$\frac{1}{2}$CD=5．
连接EO1，易知∠EO1C=2∠EMC=90°．
∴点E的坐标（4，5）．
（2）如图2，由勾股定理得：MC=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
MD=$\sqrt{10}$，
过M作MN⊥O1E于N，则EN=5-3=2，MN=4，
由勾股定理得：ME=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{2}$ME=$\sqrt{2}$×$2\sqrt{5}$=2$\sqrt{10}$，
∴MC-MD=3$\sqrt{10}$-$\sqrt{10}$=2$\sqrt{10}$=$\sqrt{2}$ME；
（3）如图3，连接EC，过E作EH⊥AC于H，连接EA、EB、EC；
又∵∠EO1C=90°，AB∥CD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∴$\widehat{ECB}$=$\widehat{EDN}$，
∴∠ECH=∠EAB
∵E、A、B、C四点共圆，
∴∠EAB=∠ECF，
∴∠ECH=∠ECF，
又∵EC=EC，∠EHC=∠EFC=90°，
∴△ECF≌△ECH，得出CF=CH，EH=EF；
又∵∠EAC=∠EBC，
∴△EAH≌△EBF，
∴BF=AH，
∴BF+CF=AH+CH=AC．
点评 本题是圆的综合题，考查了三角形的外接圆，全等三角形的证明、四点共圆的性质、圆周角定理以及图形与坐标特点等知识，并与一次函数相结合，综合性较强，尤其是第三问，作辅助线是关键．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | 三个内角平分线的交点 | B． | 三边垂直平分线的交点 | ||
| C． | 三条高线的交点 | D． | 三条中线的交点 |
如图，济南大约位于石家庄的南偏东56°方向上，则石家庄大约位于济南的（ ）| A． | 北偏西56°方向上 | B． | 北偏西34°方向上 | C． | 南偏西34°方向上 | D． | 南偏东56°方向上 |
诗词是我国古代文化中的瑰宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对诗词的学习情况，举办了一次“中华诗词”背诵大赛，随机抽取了部分同学的成绩（x为整数，总分100分），绘制了如下尚不完整的统计表．| 组别 | 成绩分组（单位：分） | 频数 | 频率 |
| A | 50≤x＜60 | 40 | 0.08 |
| B | 60≤x＜70 | 70 | 0.14 |
| C | 70≤x＜80 | 90 | c |
| D | 80≤x＜90 | a | 0.40 |
| E | 90≤x≤100 | 100 | 0.20 |
| 合计 | b | 1 |
（1）统计表中a=200，b500，c=0.18；
（2）扇形统计图中，m的值为14，“E”所对应的圆心角的度数是72（度）；
（3）若参加本次大赛的同学共有4000人，请你估计成绩在90分及以上的学生大约有多少人？
