Question

3．如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AE，再根据DM与AB是对应边和与BE是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答 解：∵E为BC中点，正方形ABCD的边长AB=2，
∴BE=$\frac{1}{2}$×2=1，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，则$\frac{AE}{MN}$=$\frac{AB}{DM}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{2}{DM}$，
解得DM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
②DM与BE是对应边时，则$\frac{AE}{MN}$=$\frac{BE}{DM}$，
即$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{1}{DM}$，
解得DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
综上所述，DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．