Question

△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上。

（1）证明：△BDG≌△CEF；
（2）探究：怎样在铁片上准确地画出正方形，小聪和小明各给出了一种想法，
（i）小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了。设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长。（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）
（ii）小明想：不求正方形的边长也能画出正方形，具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，
则四边形DEFG即为所求。你认为小明的作法正确吗？说明理由。

Answer 1

解：（1）∵DEFG为正方形
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴△BDG≌△CEF（AAS）。
（2）（i）设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
求得
由△AGF∽△ABC得
解之得：（或）。
（ii）正确
由已知可知，四边形GDEF为矩形
∵FE∥F'E'
∴
同理
∴
又∵F'E'=F'G'，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF为正方形。