Question

1．四边形ABCD是正方形，点E在边BC上（不与端点B、C重合），点F在对角线AC上，且EF⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG
（1）若AB=7$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{2}$，求FG的长；
（2）求证：DF=$\sqrt{2}$FG；
（3）将图1中的△CEF绕点C按顺时针旋转，使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上（如图2），连接AE、点G仍是AE的中点，猜想BF与FG之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；
（2）先判断出DF=BF，然后判断出点A，F，E，B四点共圆，圆心为G，再判断出△BGF为等腰直角三角形，即可；
（3）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF=45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB=45°从而得到△BGF为等腰直角三角形，即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
根据勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∵点G是AE中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$AE=5；
（2）连接BF，BG，如图1，

∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB=AD，∠DAC=∠BAC，
∵AF=AF，
∴△AFD≌△AFB，
∴DF=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°，
∴∠ABC=∠AEF=90°，
∴点A，F，E，B四点共圆，
∵点G是AE中点，
∴点G为点A，F，E，B四点共圆的圆心，
∵∠BAC=45°，
∴∠BGF=2∠BAC=90°，
在Rt△ABE中，BG=$\frac{1}{2}$AE，
在Rt△AFE中，FG=$\frac{1}{2}$AE，
∴BG=FG，
∴∠BGF=90°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$FG，
∵DF=BF，
∴DF=$\sqrt{2}$FG，
（3）BF=$\sqrt{2}$FG；连接BG，CG

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，AB=BC，
由旋转有，∠CFE=90°，∠ECF=45°，
∴∠ACE=90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG=CG=AG，
∴△AGB≌△CGB，
∴∠ABG=∠CBG=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵EG=CG，EF=CF，FG=FG，
∴△EFG≌△CFG，
∴∠EFG=∠CFG=360°-∠BFE=360°-90°=270°，
∴∠EFG=135°，
∵∠BFE=90°，
∴∠BFG=45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$FG．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判断方法和性质，勾股定理，旋转的特征，判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点．