Question

11．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．
（1）△APE与△FPA相似吗？请说明理由．
（2）若PE=1，EF=2，试求PC的长度．

Answer 1

分析 （1）利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．

解答 （1）证明：相似，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．
又∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
（2）∵△APE∽△FPA，
∴$\frac{AP}{PF}=\frac{PE}{PA}$．
∴PA²=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC²=PE•PF，
∵PE=1，EF=2，
∴PF=3，
∴PC=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．