Question

如图（1），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q。
（1）四边形OABC的形状是______，
当α=90°时，的值是____；
（2）①如图（2），当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴时，求的值；
②如图（3），当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°<α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）矩形（长方形）；；
（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°， ∴△COP∽△A′OB′， ∴ 即 同理△B′CQ∽△B′C′O，　 ∴ 即 ∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11， ∴ ②在△OCP和△B′A′P中，  ∴△OCP≌△B′A′P（AAS）， ∴OP=B′P， 设B′P=x， 在Rt△OCP中， （8-x）2+62= x2， 解得， ∴；
（3）存在这样的点P和点Q，使， 点P的坐标是， 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求， 过点Q 画QH⊥OA′于H， 连接OQ， 则QH=OC′=OC， ∵ ∴PQ=OP， 设BP=x， ∵ ∴BQ=2x， ①如图（1）， 当点P在点B左侧时， OP=PQ=BQ+BP=3x， 在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2， 解得，（不符实际，舍去） ∴ ∴； ②如图（2）， 当点P在点B右侧时， OP=PQ=BQ-BP=x， PC=8-x， 在Rt△PCO中， （8-x）2+62=x2， 解得， ∴ ∴ 综上可知，存在点，，使BP=。