已知x轴上有点A(1.0).点B在y轴上.点C(m.0)为x轴上一动点且m＜-1.连接AB.BC.tan∠ABO=$\frac{1}{2}$.以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D.过点B作直线l∥AC.过A.B.C三点的抛物线为y=ax2+bx+c.直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E.F．(1)求B点坐标,(2)用含m的式子表示抛物线的对称轴,(3)线段EF的长是否为定值?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜-1，连接AB，BC，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax²+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．

（1）求B点坐标；
（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．
（4）是否存在点C（m，0），使得BD=$\frac{1}{2}$AB？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．

分析（1）根据正切函数的定义及点A的坐标求解；
（2）因为点C、A、B在抛物线上，故代入其坐标列方程组求解即可；
（3）得到EB=-（1+m），FB=-m，相加即可求解；
（4）连接CD，因为BC为圆的直径，所以∠BDC=90°，若BD=$\frac{1}{2}$AB，可证明CA=CB，由此可求得符合题意的点C（-$\frac{3}{2}$，0）．

解答解：（1）∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，且A（1，0），
∴OB=2，即：点B的坐标为（0，2）．
（2）点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=2}\\{a{m}^{2}+bm+c=0}\end{array}\right.$
解之得：b=-$\frac{2（m+1）}{m}$，a=$\frac{2}{m}$，
∴x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{m+1}{2}$．
即：抛物线的对称轴为x=$\frac{m+1}{2}$
（3）∵EB=-（1+m），FB=-m，EF=FB-EB=1，
∴线段EF的长是定值．
（4）如下图所示：连接CD

∵BCS是⊙M的直径，
∴∠CDB=90°，
∵若BD=$\frac{1}{2}$AB，即BD=DA
则易证CB=CA
∴$\sqrt{{2}^{2}+{m}^{2}}$=1-m
解之得m=-$\frac{3}{2}$，
即：存在一点C（-$\frac{3}{2}$，0），使得BD=$\frac{1}{2}$AB

点评本题考查了二次函数与圆的有关知识点，解题的关键是函数图象上的点与其解析式的关系以及圆的基本知识点和综合分析问题的能力．

	A．	点P（1，-3）在笫二象限		B．	已知点A（-3，4），点B（-3，2），则AB∥x轴
	C．	点M（3，-2）到y轴的距离为2个单位		D．	已知点A（1，2），点B（-2．-1），则AB=3$\sqrt{2}$

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