Question

8．已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积为2．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性质就可以得出OE=OF；
（2）由全等可以得出S_△BOE=S_△COF，就可以得出S_{四边形OECF}=S_△BOC，S_△BOC的面积就可以得出结论．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，
∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．
∴∠EOF=90°
∵∠BOE=∠EOF-∠EOC=90°-∠EOC
∠COF=∠BOC-∠EOC=90°-∠EOC
∴∠BOE=∠COF．
在△OBE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF\\;}\\{OB=OC}\\{∠OBC=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF；

（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S_△BOE=S_△COF
∴S_△EOC+S_△COF=S_△EOC+S_△BOE，
即S_{四边形OECF}=S_△BOC．
∵S_△BOC=2，
∴两个正方形重叠部分的面积为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等得出OE=OF是关键．