Question

2．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是1．

Answer 1

分析 当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，分别利用三角形中位线定理可求得OD和OP的长，则可求得PQ的最小值．

解答 解：
当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图，
∵AC为圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵AC=8，BC=6，AB=10，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，且O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=3，
同理可得PO=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴PQ=OP-OQ=4-3=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查切线的性质及直角三角形的判定，先确定出当PQ最得最小值时点P的位置是解题的关键．