Question

14．关于x的方程x²+2（k+1）x+k²=0的两实数根的和为m，关于y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y＞-4}\\{y＜m}\end{array}\right.$有实数解，则k的取值范围是-$\frac{1}{2}$≤k＜1．

Answer 1

分析 因为关于x的方程x²+2（k+1）x+k²=0有两实根，所以△=[2（k+1）]²-4k²≥0，又因为关于y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y＞-4}\\{y＜m}\end{array}\right.$有实数解，所以y一定介于-4与m之间，即m＞-4，因此m=-2（k+1）＞-4，然后解不等式即可求出k的取值范围．

解答 解：∵关于x的方程x²+2（k+1）x+k²=0有两实根，
∴△=[2（k+1）]²-4k²≥0，
解得k≥-$\frac{1}{2}$；
∵关于y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y＞-4}\\{y＜m}\end{array}\right.$有实数解，
∴m＞-4，
又∵m=-2（k+1），
∴-2（k+1）＞-4，
解得k＜1．
∴k的取值范围是得-$\frac{1}{2}$≤k＜1．
故答案为-$\frac{1}{2}$≤k＜1．

点评 本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，也考查了根的判别式及不等式组的解集．