Question

20．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD：AB=1：3，则MD+$\frac{12}{MA•DN}$的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{MA}{BD}$=$\frac{MD}{DN}$，求出MA•DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．

解答 解：∵AB=6，AD：AB=1：3，
∴AD=6×$\frac{1}{3}$=2，BD=6-2=4，
∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，
∴∠A=∠B=∠FDE，
由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，
∴∠AMD=∠BDN，
∴△AMD∽△BDN，
∴$\frac{MA}{BD}$=$\frac{MD}{DN}$=$\frac{AD}{BN}$，
∴MA•DN=BD•MD=4MD，
∴$\frac{1}{MA•DN}=\frac{1}{4MD}$，
∴MD+$\frac{12}{MA•DN}$=MD+$\frac{3}{MD}$=（$\sqrt{MD}$）²+（$\sqrt{\frac{3}{MD}}$）²-2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{MD}$-$\sqrt{\frac{3}{MD}}$）²+2$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{MD}$=$\sqrt{\frac{3}{MD}}$，即MD=$\sqrt{3}$，
如图，
连接CD，过点C作CG⊥AB于G，
∵AC=BC=5，AB=6，
∴AG=3，CG=4，
∴DG=AG-AD=3-2=1，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=$\sqrt{D{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{17}$
当点M和点C重合时，DM最大，即：DM最大=$\sqrt{17}$
当DM⊥AC时，DM最小，过点D作DH⊥AC于H，即：DM最小=DH，
在Rt△ACG中，sin∠A=$\frac{CG}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
在Rt△ADH中，sin∠A=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=ADsin∠A=2×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∵$\frac{8}{5}$≤DM≤$\sqrt{17}$，
∴DM=$\sqrt{3}$时，MD+$\frac{12}{MA•DN}$有最小值为2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转变换，难点在于将所求代数式整理出完全平方的形式从而判断出最小值．