Question

已知正方形内接于半径为20，圆心角为90°的扇形（即正方形的各顶点都在扇形边或弧上），则正方形的边长是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,圆的认识

专题：

分析：根据正方形内接于圆心角为90°扇形，根据题意画出图形，由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．

解答：解：如图1所示：
连接OD，设正方形OCDE的边长为x，
则在Rt△OCD中，OD²=OC²+CD²，即20²=x²+x²，
解得：x=10

2

；

如图2所示，
过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OD，
设FH=x，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CF，
∴FH=CH=x，
∵∠AOC=90°，
∴CH=OH，
∴OG=3x，
在Rt△ODG中，OD²=GD²+OG²，即20²=x²+（3x）²，
解得：x=2

10

，
∴CF=2x=4

10

．
综上可得：正方形的边长是10

2

或4

10

．
故答案为：10

2

或4

10

．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，难度较大．