Question

1．观察下列各式：$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；…，…，
（1）猜想它的规律，把$\frac{1}{n（n+1）}$表示出来
（2）用你得到的规律，计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{n（n+1）}$，并求出当n=24时代数式的值．

Answer 1

分析 （1）根据题中规律写出即可；
（2）根据（1）中的规律，分别把每个分数的分母变形，变成积的形式，得出相应的分数差，发现有若干个互为相反数的和，由此得出结论，并代入求值．

解答 解：（1）$\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{n（n+1）}$，
=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$，
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
当n=24时，原式=1-$\frac{1}{24+1}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题是数字类的变化题，除了数字类的规律外，还考查了有理数中分数的加减法，本题不能按法则计算，把异分母分数化成同分母分数，会很麻烦，数较大，因此利用规律拆项后，化成了互为相反数的和，简化了计算．