Question

18．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB边上一点，以CD为底边，向上作等腰△DCE，使△EDC∽△ABC，连接AE．
（1）判断△ACE与△BCD是否相似，并说明理由；
（2）求证：AE∥BC．

Answer 1

分析 （1）先由△EDC∽△ABC可得出$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AC}{EC}$，∠ECD=∠ACB，故可得出$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{DC}$，∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，由此可得出结论；
（2）根据（1）中△ACE∽△BCD可得出∠EAC=∠B，再由AB=AC即可得出结论．

解答 （1）解：∵△EDC∽△ABC，
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AC}{EC}$，∠ECD=∠ACB，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{DC}$，∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
∴△ACE∽△BCD；

（2）证明：∵由（1）得△ACE∽△BCD，
∴∠EAC=∠B．
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解答此题的关键．