Question

2．已知如图，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，EF⊥AB于F．
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）若BF=$\frac{1}{2}$AB，求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的性质得到EC=EF，然后根据“HL”可证明Rt△ACE≌△AFE；
（2）由于AF=BF，EF⊥AB，则利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理得到EA=EB，所以∠EAB=∠B，再利用∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，然后根据三角形内角和和计算出∠B的度数．

解答 （1）证明：∵AE平分∠BAC，
而EC⊥AC，EF⊥AB，
∴EC=EF，
在Rt△ACE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EC=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌△AFE；
（2）解：∵BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AF=BF，
∵EF⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAB=2∠B，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴2∠B+∠B=90°，
∴∠B=30°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．