Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=20，BC=15．动点P从A开始，以每秒2个单位长的速度沿AB方向向终点B运动，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为E、F．
（1）求AB与CD的长；
（2）当矩形PECF的面积最大时，求点P运动的时间t；
（3）以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C与斜边AB有且只有一个公共点时，求r的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）在△ABC中，利用勾股定理计算出AB=25，然后利用面积法计算CD=12；
（2）由于PE∥BC，根据相似三角形的判定方法得到△APE∽△ABC，则利用相似得到AE=

8

5

t，PE=

6

5

t，则CE=AC-AE=20-

8

5

t，根据矩形的面积公式得到矩形PECF的面积=PE•CE=

6

5

t•（20-

8

5

t），配方得到矩形PECF的面积=-

48

25

（t-

25

4

）²+75，然后根据二次函数的性质得到t=

25

4

时，矩形PECF的面积最大；
（3）分类讨论：当r=CD=12时，圆C与斜边AB相切；当15＜r≤20时，圆C与斜边AB作在的直线相交，但圆C与斜边AB有且只有一个公共点．

解答：解：（1）在△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15，
∴AB=

AC2+BC2

=25；
∵CD⊥AB，
∴

1

2

AC•BC=

1

2

CD•AB，
∴CD=

20×15

25

=12；

（2）∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AE

AC

=

PE

BC

，即

2t

25

=

AE

20

=

PE

15

，
∴AE=

8

5

t，PE=

6

5

t，
∴CE=AC-AE=20-

8

5

t，
∴矩形PECF的面积=PE•CE=

6

5

t•（20-

8

5

t）
=-

48

25

t²+24t
=-

48

25

（t-

25

4

）²+75（0≤t≤

25

2

），
当t=

25

4

时，矩形PECF的面积最大，最大值为75；

（3）当r=CD=12时，圆C与斜边AB相切，即圆C与斜边AB有且只有一个公共点；
当15＜r≤20时，圆C与斜边AB作在的直线相交，但圆C与斜边AB有且只有一个公共点，
即r的取值范围为r=12或15＜r≤20．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系、二次函数的性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．