Question

10．如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西45°方向上，AB=30海里．
（1）尺规作图；过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）用列方程的方法，求点P到海岸MN的距离．

Answer 1

分析 （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法过P作PE⊥AB即可；
（2）设PE=x海里，然后表示出AE=$\frac{PE}{tan∠PAE}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x（海里），再利用直角三角形的性质可得PE=EB=x海里，进而可得AB=$\sqrt{3}$x+x，再由AB=30海里，进而可得$\sqrt{3}$x+x=30，再解即可．

解答 解：（1）如图所示：

（2）设PE=x海里，
在Rt△APE中，∠PAE=30°，tan∠PAE=$\frac{PE}{AE}$，
所以：AE=$\frac{PE}{tan∠PAE}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x（海里），
在Rt△PEB中，∠PBE=45°，
所以PE=EB=x海里，
由AE+BE=AB得：$\sqrt{3}$x+x=30，
x=15$\sqrt{3}$-15，
答：点P到海岸MN的距离为（15$\sqrt{3}$-15）海里．

点评 此题主要考查了作图--应用与设计作图，以及解直角三角形的应用，关键是设出未知数，利用含未知数的式子表示出AB的长．