Question

已知抛物线y=ax²+4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A（-1，0），B（x₂，0）．
（1）直接写出一元二次方程ax²+4ax+m=0的两个根：x₁=

 

，x₂=

 

（2）原抛物线与y轴交于C点，CD∥x轴交抛物线于D点，求CD的值；
（3）若点E（1，y₁），点F（-3，y₂）在原抛物线上，你能比较出y₂和y₁的大小吗？若能，请比较出大小，若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）易求抛物线的对称轴，有已知点A的坐标可求出点B的坐标，进而可求出一元二次方程ax²+4ax+m=0的两个根；
（2）利用已知条件可求出C到对称轴的距离是2，又因为CD∥x轴，CD的距离是点C到对称轴距离的2倍，问题得解；
（3）不能判断出y₂和y₁的大小．因为抛物线y=ax²+4ax+m中a的正、负不能确定，也就不能确定抛物线的开口方向，所以其大小不能比较．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+4ax+m（a≠0），
∴对称轴直线x=-

b

2a

=-2，
∵与x轴的交点为A（-1，0），
∴点B（-3，0），
∴一元二次方程ax²+4ax+m=0的两个根为-1或-3，
故答案为：x₁=-1，x₂=-3，
（2）∵抛物线y=ax²+4ax+m的对称轴是x=-2，点C是抛物线y=ax²+4ax+m与y轴的交点，
∴C到对称轴的距离是2，
又∵CD∥x轴，
∴CD的距离是点C到对称轴距离的2倍，即2×2=4 即CD的值为4．
（3）不能判断出y₂和y₁的大小．理由如下：
因为抛物线y=ax²+4ax+m中a的正、负不能确定，也就不能确定抛物线的开口方向，抛物线是上升还是下降也就不能确定，
因此y值随x值的变化也不能确定，
所以不能判断出y₂和y₁的大小．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．