题目内容

甲、乙两企业去年末都有利润积累，甲企业利润为300万元，甲企业认为：企业要可持续发展，必须进行自主创新和技术改造，由于投资更新等原因，甲企业的利润积累y_甲（万元）与时间x（年）之间的函数图象呈抛物线（如图）乙企业的利润积累y_乙（万元）每年增加50万元，预计第一年末（今年末）利润积累150万元．
（1）乙企业去年末的利润积累是______万元，乙企业利润积累y_乙（万元）与时间x（年）之间的函数关系式为______（不必写出自变量x的取值范围）．
（2）到第几年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系？
（3）改造初期，甲企业的利润积累逐渐减少，甚至会低于乙企业的利润积累．随着甲企业进入改造成长期，甲企业的利润积累重新高于乙企业的利润积累，试问第几年（保留整数位．参考数据： $数学公式$ ≈3.6）甲企业开始进入改造成长期？5年后（含5年）甲企业进入改造成熟期，效益将显现出来．改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累多少万元？

解：（1）∵乙企业的利润积累y_乙（万元）每年增加50万元，预计第一年末（今年末）利润积累150万元．
∴乙企业去年末的利润积累是100万元，
∴乙企业利润积累y_乙与时间x之间函数关系为：y_乙=100+50x；
故答案为：100，y_乙=100+50x；

（2）依据题意，设甲企业的利润积累y_甲与时间x之间的解析式为：
y_甲=a（x-1）（x-2），
∵y_甲=300时，x=0，∴a=150，
∴y_甲=150（x-1）（x-2）=150x²-450x+300，
依据题意得：y_甲=3y_乙，
∴150x²-450x+300=3（100+50x），
解得：x₁=0（改造初期舍去），x₂=4，
答：到第4年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系；

（3）甲企业刚好进入改造成长期时：y_甲=y_乙，
∴150x²-450x+300=100+50x，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
∴x₁=0（改造初期舍去），x₂≈3，
∴第3年甲企业进入改造成长期，
设改造成熟期，甲企业的利润积累与乙企业的利润积累的差为W万元，依据题意得出：
W=y_甲-y_乙=150x²-450x+300-（100+50x）=150x²-500x+200，
根据函数性质分析，当x＞ $\text{[math]}$ ，W随x的增大而增大，
∵x≥5，∴x=5时，W取得最小值为1450，
∴改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累1450万元．
分析：（1）根据题意直接得出乙企业去年末的利润积累以及y_乙与时间x之间函数关系；
（2）首先利用交点式得出y_甲与时间x之间的解析式，进而利用甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系即3倍关系，进而求出即可；
（3）利用甲企业刚好进入改造成长期时：y_甲=y_乙，求出即可，再利用二次函数增减性得出答案即可．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用和二次函数最值求法等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．