题目内容
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=$\sqrt{8}$cm，BC=8cm，点P是底BC上一个动点，从点B向点C以每秒1cm的速度运动，运动到点C停止运动．（1）在此运动过程中是否存在使△ABP是等腰三角形的情形？满足使△ABP是等腰三角形的点P有几个？请在图上标出点P的位置分别用P1、P2…（可以用刻度尺、三角板、圆规等作图）表示，并分别写出各种情况下的顶角度数．（直接写出答案）
（2）设点P从点B开始出发，运动时间为t，分别求出t为何值时△ABP是等腰三角形．
分析 （1）分三种情况：①当PA=PB时；②当AB=AP时；③当BA=BP时；在图上分别作出满足条件的点P；由等腰三角形的性质即可求出三种情况下顶角的度数；
（2）分三种情况：①当PA=PB时，由等腰三角形的性质得出∠PAB=∠B=45°，得出∠APB=90°，在直角三角形中运用三角函数求出PB，即可得出结果；
②当AB=AP时，由等腰三角形的性质和三角函数即可求出结果；
③当BP=BA=2$\sqrt{2}$时，即可得出结果．
解答 解：（1）存在使△ABP是等腰三角形的情形；满足使△ABP是等腰三角形的点P有3个；如图所示：
①当PA=PB时，∠PAB=∠B=45°，
∴∠APB=90°；
②当AB=AP时，∠APB=∠B=45°，
∴∠BAP=90°；
③当BA=BP时，顶角为∠B=45°；
综上所述：三种情况下的顶角度数为90°，90°，45°；
（2）分三种情况：
①当PA=PB时，∠PAB=∠B=45°，
∴∠APB=90°，
∴PA=PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2，
∴t=2；
②当AB=AP时，∠APB=∠B=45°，
∴∠BAP=90°，
∴PB=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$\sqrt{8}$=4，
∴t=4；
③当BP=BA=2$\sqrt{2}$时，t=2$\sqrt{2}$；
综上所述：t为2或4或2$\sqrt{2}$时，△ABP是等腰三角形．
点评 本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是需要进行分类讨论，运用等腰三角形的性质和三角函数才能得出结果．
练习册系列答案
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16．
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