题目内容
如图所示，两等圆⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，且两圆互过圆心，过B作任一直线，分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点，连接AC、AD．
(1)试猜想△ACD的形状，并给出证明；
(2)若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的；
(3)若⊙O1和⊙O2是两个不等的圆，半径分别为R和r，那么(2)中的猜想还成立吗？若成立给出证明；若不成立，那么AC和AD的长与两圆的半径有什么关系？说明理由．
答案：
解析：
解析：
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解：(1)如图，△ACD为等边三角形．证明如下：连结O1A，O1O2，O1B，O2A，O2B．∵⊙O1和⊙O2为等圆且互过圆心，∴O1A＝O1O2＝O1B＝O2A＝O2B．∴∠AO1B＝∠AO2B＝120°． ∴∠ACD＝∠ADC＝60°．∴△ACD为等边三角形; (2)△ACD为等腰三角形，如图(1)．证明如下： ∵⊙O1和⊙O2为等圆，则 △ACD为等腰三角形; (3)不成立，此时 证明如下：连结AO1并延长交⊙O1于E，连结EC．连结AO2并延长交⊙O2于F，连结DF，则△AEC和△AFD为直角三角形． ∵四边形AECB为⊙O1的圆内接四边形，∴∠E＝∠ABD．而∠ABD＝∠F，∴∠E＝∠F．∴Rt△AEC∽Rt△AFD． ∴ |
与
是等弧，∴∠C＝∠D，即
，如图(2)所示．
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