题目内容
2．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．
分析 （1）可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
解答 解：
（1）当t=2时，则AP=2，BQ=2t=4，
∵AB=8cm，
∴BP=AB-AP=8-2=6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=$\sqrt{B{P}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$（cm），
即PQ的长为2$\sqrt{13}$cm；
（2）由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=8，
∴BP=AB-AP=8-t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即8-t=2t，解得t=$\frac{8}{3}$，
∴出发$\frac{8}{3}$秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，
∴CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况，
①当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，
则CD=$\frac{1}{2}$CQ=t-3，在Rt△ABC中，求得BD=$\frac{24}{5}$，
在Rt△BCD中中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（$\frac{24}{5}$）2+（t-3）2，解得t=6.6或t=-0.6＜0（舍去）；
②当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6；
③当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=$\frac{1}{2}$AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5；
综上可知当t的值为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形时．
点评 本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
如图，△ABC中，AB=4，点D在AB边上移动（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD，设S△ABC=S，S△DCE=S1．
