Question

 (2010．十堰)如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连结AB并延长交⊙O₂于点C，连结O₂C.

（1）求证：O₂C⊥O₁O₂；

（2）证明：AB·BC=2O₂B·BO₁；

（3）如果AB·BC=12，O₂C=4，求AO₁的长.

Answer 1

解：（1）∵AO₁是⊙O₂的切线，∴O₁A⊥AO₂ ∴∠O₂AB+∠BAO₁=90°

又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B，∴∠O₂CB=∠O₂AB，∠O₂BC=∠ABO₁=∠BAO₁

∴∠O₂CB+∠O₂BC=∠O₂AB+∠BAO₁=90°，∴O₂C⊥O₂B，即O₂C⊥O₁O₂

（2）延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连结AD.

∵BD是⊙O₁直径，∴∠BAD=90°

又由（1）可知∠BO₂C=90°

∴∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC

∴△O₂BC∽△ABD

∴

∴AB·BC=O₂B·BD   又BD=2BO₁

∴AB·BC=2O₂B·BO₁

（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A

∴△AO₂B∽△DO₂A

∴

∴AO₂²=O₂B·O₂D

∵O₂C=O₂A

∴O₂C²=O₂B·O₂D ①  

又由（2）AB·BC=O₂B·BD ②

由①－②得，O₂C²－AB·BC= O₂B²  即4²－12=O₁B²

∴O₂B=2，又O₂B·BD=AB·BC=12

∴BD=6，∴2AO₁=BD=6   ∴AO₁=3