Question

5．计算与化简：
（1）解不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{5x-2≥3（{x+1}）}\\{\frac{1}{2}x-1＜7-1.5x}\end{array}}\right.$，并把其解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：$\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+2}{x-2}+\frac{16}{{{x^2}-4}}$
（3）化简求值：$\frac{{{x^2}-2x}}{{{x^2}-1}}÷（{x-1-\frac{2x-1}{x+1}}）$，其中$x=\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，求出x的值，代入公分母进行检验即可；
（3）先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}5x-2≥3（x+1）①\\ \frac{1}{2}x-1＜7-1.5x②\end{array}\right.$，由①得，x≥$\frac{5}{2}$，由②得，x＜4，
故不等式组的解集为：$\frac{5}{2}$≤x＜4，
在数轴上表示为：
；

（2）方程两边同时乘以（x+2）（x-2）得，（x-2）²=（x+2）²+16，
去括号得，x²+4-4x=x²+4+4x+16，
移项得，x²-x²-4x-4x=4+16-4，
合并同类项得，-8x=16，
x的系数化为1得，x=-2．
把x=-2代入（x+2）（x-2）得，（-2+2）（-2-2）=0，
故x=-2是原分式方程的增根，原方程无解；

（3）原式=$\frac{x（x-2）}{（x+1）（x-1）}$÷$\frac{{x}^{2}-1-2x+1}{x+1}$
=$\frac{x（x-2）}{（x+1）（x-1）}$÷$\frac{x（x-2）}{x+1}$
=$\frac{x（x-2）}{（x+1）（x-1）}$•$\frac{x+1}{x（x-2）}$
=$\frac{1}{x-1}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，原式=$\frac{1}{\frac{1}{2}-1}$=-2．

点评 本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．