Question

2．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠BAC的平分线，E为AD上一点，求证：
（1）∠ADC＞∠CAD；
（2）AB-AC＞EB-EC．

Answer 1

分析 （1）由AD为∠BAC的平分线，得到∠BAD=∠CAD，根据外角的性质即可得到结论；
（2）在AB上取AP=AC，然后证明△APE和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等得到EC=PE，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．

解答 证明：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠ADC＞∠BAD，
∴∠ADC＞∠CAD；

（2）如图，在AB上截取AP，使AP=AC，连接PE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AEP和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△ACE（SAS），
∴PE=EC，
在△PBE中，BP＞EB-PE，
即AB-AC＞EB-EC．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．