Question

2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，另一直角顶点D在如图位置关系在AB上运动，且两边分别交两直角边AC、BC于E，F两点．若D点到这两点线段长度之比为1：2，则AD=$\frac{15}{11}$．

Answer 1

分析 过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，得到四边形MDNC是矩形，证得△DME∽△DNF，得到比例式$\frac{DM}{DN}=\frac{DE}{DF}=\frac{1}{2}$求得DN=2DM，通过S_△ADC+S_△BDC=S_△ABC，得到3DM+4×2DM=12求出MC=DN=$\frac{24}{11}$，根据勾股定理即可得到结果．

解答 解：过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∵∠ACB=90°，
∴四边形MDNC是矩形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDE=90°-∠EDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDF=90°-∠EDN，
∴∠MDE=∠NDF，
∴△DME∽△DNF，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{DE}{DF}=\frac{1}{2}$，
∴DN=2DM，
∵S_△ADC+S_△BDC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}AC•DM+\frac{1}{2}BC•DN$=$\frac{1}{2}AC•BC$，
即3DM+4×2DM=12，
∴MC=DN=$\frac{24}{11}$，
∴AM=AC-MC=3-$\frac{24}{11}$=$\frac{9}{11}$，
∴AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{11}）^{2}+（\frac{9}{11}）^{2}}$=$\frac{15}{11}$．
故答案为：$\frac{15}{11}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．