Question

如图，已知四边形ABCD是菱形，∠B=60°，点P是直线BC上一点，作∠APQ=60°，PQ交DC所在直线于Q，连接AQ．
（1）当点P在线段BC上时，如图1，则△APQ的形状是

 

；
（2）当点P在线段BC的延长线上，如图2，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在线段BC的反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？请在备用图上画出图形，直接写出结论．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）如图1，连结AC，运用菱形的性质证明△ABP≌△ACQ就可以得出AP=AQ，进而就可以得出△APQ为等边三角形；
（2）如图2，延长是BA到E，使AE=CP，连接PE运用菱形的性质证明△AEP≌△PCQ就可以得出AP=PQ，进而就可以得出△APQ为等边三角形；
（3）如图3，连接AC，运用菱形的性质证明△APB≌△AQC就可以得出AP=AQ，进而就可以得出△APQ为等边三角形．

解答：解：（1）△APQ的形状是等边三角形．
理由：如图1，连结AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D．
∵∠B=60°，
∴∠B=60°，△ABC为等边三角形．
∴△ACD为等边三角形，AC=AB．
∴∠ACD=60°．
∴∠B=∠ACD．
∵∠APQ=60°，
∴∠APQ=∠ACQ，
∴点A、P、C、Q四点共圆．
∴∠AQP=∠ACB=60°，
在△APQ中，
∠APQ=∠AQP=60°，
∴△APQ是等边三角形，
故答案为：等边三角形；

（2）（1）中的结论成立
证明：如图2，延长是BA到E，使AE=CP，连接PE
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，AD∥BC，AB∥CD
∴∠EAD=∠B，∠DCP=∠B，∠DAP=∠APC
∵∠B=60°，
∴∠EAD=∠QCP=60°．
∵∠APQ=60°，
∴∠EAD=∠APQ．
∴∠EAD+∠DAP=∠APQ+∠APB，
∴∠EAP=∠CPQ．
∵AE=CP，AB=BC，
∴BA+AE=BC+CP
∴BE=BP．
∵∠B=60°，
∴△BEP是等边三角形，
∴∠E=60°
∴∠E=∠QCP，
在△AEP和△PCQ中

∠EAP=∠CPQ AE=PC ∠E=∠QCP

，
∴△AEP≌△PCQ（ASA），
∴PA=PQ，
∴△APQ是等边三角形；
（3）画图为如图3，（1）中的结论成立，△APQ是等边三角形．
理由：连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠D，AD∥BC，AB∥DC．
∴∠D=∠PCQ．
∵∠ABC=60°，
∴∠D=60°，∠ABP=120°．
∴△ABC为等边三角形．△ACD为等边三角形，
∴∠PCQ=60°．∠ACD=60°，
∴∠ACQ=120°．
∴∠ABP=∠ACQ．
∵∠APQ=60°，
∴∠ACQ+∠APQ=180°．
∴点A、P、Q、C四点共圆，
∴∠AQP=∠ACP=60°，
在△APQ中，
∠APQ=∠AQP=60°，
∴△APQ是等边三角形．

点评：本题考查了菱形的性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等及灵活运用等边三角形的性质是关键．