Question

19．求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．

Answer 1

分析 连接DF，设AD和BF交于G点，根据三角形的中位线性质可得AB=2DF，DF∥AB，然后根据平行线分线段成比例定理从而得到AG=2GD，BG=2GF，同理证得CG′=2G′E，AG′=2G′D，即可证得结论．

解答 证明：如图，连接DF，设AD和BF交于G点，
∵AD、BF、CE是△ABC的中线
∴DF是△ABC的中位线，
∴AB=2DF，DF∥AB，
∴$\frac{AG}{GD}$=$\frac{BG}{GF}$=$\frac{AB}{DF}$=$\frac{2}{1}$，
∴AG=2GD，BG=2GF，
设AD和CE交于G′，
同理可得：CG′=2G′E，AG′=2G′D，
即G和G′重合，
所以，三角形的三条中线AD、BF、CE交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．

点评 本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．