Question

如图，一次函数y＝x＋m图象过点A（1，0），交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且BC＝2OB，过A、C两点的抛物线交直线AB于点D，且CD∥x轴.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）观察图象，写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围；

（3）在题中的抛物线上是否存在一点M，使得∠ADM为直角？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）把点A(1,0)代入　y＝x＋m得m＝－1

　∴y＝x－1　       ∴点B(0,－1)　

∵BC＝2OB　OB＝1　∴BC＝2　∴OC＝3

　∴C点坐标为(0,－3)　

又∵CD∥x轴　    

∴D的纵坐标为－3　代入y＝x－1　得x＝－2　

∴D(－2,－3)　设抛物线为y＝ax²＋bx＋c

　则　　∴y＝x²＋2x－3

（2）x＜－2　或x＞1

（3）∵BC＝CD＝2　且CD∥x轴　

∴△BCD为等腰直角三角形　∠BCD＝90°

　又抛物线顶点为E(－1,－4)，

∴E到CD距离为1　

∴∠EDC＝45°　∴∠EDA＝90°

∴存在点M(－1,－4)（即抛物线顶点E）使得∠ADM＝90°