题目内容
17．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G
求证：①△ADC≌△BDF；
②FG+DC=AD；
（2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，②中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立FG、DC、AD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想．并证明．
分析 （1）①在△ABD中，∠ABC=45°，AD⊥BC，可证BD=AD，∠BDF=∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE=∠ACD，再根据对顶角相等可得∠ACD=∠BFD；最后运用AAS，可证明△BDF≌△ADC；②由△BDF≌△ADC可证得DF=DC，根据AD=AF+FD，可得AD=AF+DC；再由GF∥BD，∠ABC=45°，可证得AF=GF，最后得出FG+DC=AD；
（2）由∠ABC=135°，可得∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，可得FG=AF=AD+DF；通过证明△BDF≌△ADC得到DF=DC，故可得：FG=DC+AD．
解答 解：（1）①证明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°
又∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∵∠FDB=∠CDA=90°，
∴△FDB≌△CDA（ASA）；
②∵△FDB≌△CDA，
∴DF=DC，
∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD．
（2）FG=DC+AD．
证明：∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD=AD，FG=AF=AD+DF，
∵∠FAE+∠DFB=∠FAE+∠DCA=90°，
∴∠DFB=∠DCA，
又∵∠FDB=∠CDA=90°，BD=AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF=DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG=DC+AD．
点评 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质的运用，解题时注意：利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法．
练习册系列答案
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8．
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