Question

18．已知：如图，正方形ABCD的边长为10，AE、CF分别平分正方形的两个外角，且满足∠EDF=45°，求AE•CF的值．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义求出∠BAE=∠BCF=45°，再求出∠DAE=∠DCF=135°，然后根据正方形的每一个角都是90°求出∠ADE+∠CDF=45°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和∠ADE+∠AED=45°，从而得到∠CDF=∠AED，再求出△AED和△CDF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答 解：（1）∵AE、CF分别平分正方形的两个外角，
∴∠BAE=∠BCF=45°，
∴∠DAE=∠DCF=135°，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠CDF=45°，
∵∠ADE+∠AED=45°，
∴∠CDF=∠AED，
在△AED和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DCF}\\{∠CDF=∠AED}\end{array}\right.$，
∴△AED∽△CDF，
∴$\frac{AD}{CF}$=$\frac{AE}{CD}$，
∴AE•CF=AD•CD=100．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定的难度．