Question

如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：
（1）BM=CN；
（2）AB+AC=2AM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据O是BC的中点，DO⊥BC，可知OD是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．
（2）根据HL证出Rt△AMD≌Rt△AND，推出AM=AN即可．

解答：证明：（1）连接BD，CD，如图，
∵O是BC的中点，DO⊥BC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD和Rt△CND中，

BD=CD DM=DN

，
∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），
∴BM=CN；

（2）∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠AMD=∠N=90°，
在Rt△AMD和Rt△AND中，

AD=AD DM=DN

，
∴Rt△AMD≌Rt△AND（HL），
∴AM=AN=AC+CN=AC+MB，
∴AB+AC=AM+MB+AN-CN=AM+AN=2AM．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，难度适中．