Question

11．如图，一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，以A为直角顶点，AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，连接BO．
（1）求OB的最大值；
（2）在AC滑动过程中，△OBC能否恰好为等腰三角形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点D，连接OD、BD．构建三边关系OB≤OD+BD，求出OD、OB即可解决问题；
（2）作BE⊥y轴于E．分三种情形分类讨论①由EA＜AB＜OB，EA=OC，推出OC＜OB，即OC≠OB．②由OC＜OA＜BC，即OC≠BC．③当OB=BC时，作BF⊥x轴于F，则OF=FC=BE，设OA=a，则BE=a，OC=2a，由OA²+OC²=AC²，构建方程即可；

解答 解：（1）取AC的中点D，连接OD、BD．
在Rt△ABC中，∵AC=AB=10，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=5，AD=DB=5，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∵OB≤OD+BD，
∴OB的最大值为5+5$\sqrt{5}$．

（2）作BE⊥y轴于E．
∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAC=90°，
∴∠EBA=∠OAC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAO，
∴BE=OA，
∴AE=OC．
①∵EA＜AB＜OB，EA=OC，
∴OC＜OB，即OC≠OB．
②∵OC＜OA＜BC，即OC≠BC．
③当OB=BC时，作BF⊥x轴于F，则OF=FC=BE，
设OA=a，则BE=a，OC=2a，
由OA²+OC²=AC²，a²+4a²=10²，解得a=2$\sqrt{5}$，
∴A（0，2$\sqrt{5}$），
综上所述，当A（0，2$\sqrt{5}$）时，△OBC是等腰三角形．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考常考题型．