题目内容
5．小明是位善于发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的数学爱好者，这不，他邀请你和他一起对下面问题进行系列探究．问题情景
（1）如图1，AD是△ABC的中线，试说明S△ABD=S△ACD；
应用探究
直接应用（1）中的结论解决下列问题：
（2）如图2，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF的面积与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，把△ABC的各边按顺时针方向延长一倍，得△DEF，求证：S△DEF=7S△ABC
（4）如图4，若将四边形ABCD各边按逆时针方向各延长一倍，得到四边形A'B'C'D'，则四边形A'B'C'D'与四边形ABCD的面积有何关系？请你直接写出结论，不需说理．
分析 （1）利用三角形的面积公式直接得出结论，（等底同高的两个三角形面积相等），
（2）利用（1）的结论，得出S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC，S△BCE=$\frac{1}{2}$S△ABC，再利用面积的和，即可；
（3）利用（1）的结论，得出S△CBD=S△ABC，S△CBD=S△CED，利用面积的和S△BDE=2S△ABC，S△ADF=2S△ABC，S△CEF=2S△ABC，即可；
（4）同（3）的方法即可得证．
解答 解：（1）如图1，
过点A作AM⊥BC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$BD×AM，S△ACD=$\frac{1}{2}$CD×AM
∴S△ABD=S△ACD，
（2）S△ABF=S四边形CDFE，
理由：如图1，∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$BD×AM，S△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AM
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC，
∴同理：S△BCE=$\frac{1}{2}$S△ABC，
∴S△ABD=S△BCE，
∵S△ABF+S△DBF=S四边形CDFE+S△BDF，
∴S△ABF=S四边形CDFE，
（3）如图3，
连接BF，AE，CD
∵△ABC的各边按顺时针方向延长一倍，
∴BD=AB，CE=BC，AF=AC，
用（1）结论，
在△ACD中，S△CBD=S△ABC，
在△BDE中，S△CBD=S△CED，
∴S△BDE=2S△ABC，
同理：S△ADF=2S△ABC，
S△CEF=2S△ABC，
∴S△DEF=S△BDE+S△ADF+S△CEF+S△ABC=2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC=7S△ABC，
（4）S四边形A'B'C'D'=5S四边形ABCD．
理由：如图4，
连接，AC'，BD'，A'C，B'D，BD，
∵将四边形ABCD各边按逆时针方向各延长一倍，得到四边形A'B'C'D'，
∴BC=B'C，CD=C'D，AD=AD'AB=A'B，
用（1）的结论，同（2）方法，得
S△B'CC'=2S△BCD，
S△C'DD'=2S△ACD，
S△A'BB'=2S△ABD，
S△A'BB'=2S△ABC，
∴S四边形A'B'C'D'=S△B'CC'+S△C'DD'+S△A'BB'+S△A'BB'+S四边形ABCD
=2S△BCD+2S△ACD+2S△ABD+2S△ABC+S四边形ABCD
=2（S△BCD+S△ACD+S△ABD+S△ABC）+S四边形ABCD
=2×2S四边形ABCD+S四边形ABCD
=5S四边形ABCD．
点评 此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的面积，三角形的中线分的两个三角形的面积是原面积的半，解本题的关键是判断出S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC．
| A． | -3 | B． | 2 | C． | 3 | D． | -2 |
| A． | a≥5 | B． | a＞5 | C． | a≤5 | D． | a＜5 |
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE=2，则BC的长度是（ ）| A． | 6 | B． | 5 | C． | 4 | D． | 3 |
如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，PD⊥BD，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=6，CD=2，则当DE=1或4时，△ABC与△CDE相似．
已知抛物线y=x2-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$和直线y=（k+1）x+（k+1）2．