Question

4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．
当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；
当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

Answer 1

分析 图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD-AE=AB，证明方法类似．

解答 解；如图②中，结论：BD+AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，
∴∠DAB=∠EDM，
∵∠ABD=180°-∠ABC=120°，∠EMD=180°-∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠EDM}\\{∠ABD=∠EMD}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DEM，
∴DB=EM=CM，
∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．
如图③中，结论：BD-AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，
∴∠ADB=∠DEM，
∵∠ABD=180°-∠ABC=120°，∠EMD=180°-∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠DEM}\\{∠ABD=∠EMD}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DME，
∴DB=EM=CM，
∴DB-AE=CM-BM=BC=AB．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．