Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD．AB=4
（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小．
（2）求出（1）中PC+PD的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求；
（2）作D′E⊥BC于E，则EB=D′A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD′=∠DD′C，然后根据平行线的性质得出∠D′CE=∠DD′C，从而求得∠D′CE=∠DCD′，得出∠D′CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D′C=2D′E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．

解答：解：（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD′=CD′，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．
（2）作D′E⊥BC于E，则EB=D′A=AD，
∵CD=2AD，
∴DD′=CD，
∴∠DCD′=∠DD′C，
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED′是矩形，
∴DD′∥EC，D′E=AB=4，
∴∠D′CE=∠DD′C，
∴∠D′CE=∠DCD′，
∵∠C=60°，
∴∠D′CE=30°，
∴D′C=2D′E=2AB=2×4=8；
∴PC+PD的最小值为8．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是本题的关键．