Question

2．在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．

方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d₁，且d₁=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d₂，且d₂=PA+PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．
观察计算
（1）在方案一中，d₁=a+2km（用含a的式子表示）
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d₂的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d₂=$\sqrt{{a}^{2}+24}$km（用含a的式子表示）．
探索归纳
（1）①当a=4时，比较大小：d_1＜d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
②当a=6时，比较大小：d_1＞d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）请你参考方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，
应选择方案一还是方案二？

Answer 1

分析 观察计算：（1）由题意可以得知管道长度为d₁=PB+BA（km），根据BP⊥l于点P得出PB=2，故可以得出d₁的值为a+2．
（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出A′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值$\sqrt{{a}^{2}+24}$就是管道长度．
探索归纳：（1）①把a=4代入d₁=a+2和d₂=$\sqrt{{a}^{2}+24}$就可以比较其大小；
②把a=6代入d₁=a+2和d₂=$\sqrt{{a}^{2}+24}$就可以比较其大小；
（2）分类进行讨论当d₁＞d₂，d₁=d₂，d₁＜d₂时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．

解答 解：（1）∵如图1，作A关于执行l的对称点A′，连接PA′，
∵A和A'关于直线l对称，
∴PA=PA'，
d₁=PB+BA=PB+PA'=a+2；
故答案为：a+2；

（2）因为BK²=a²-1，
A'B²=BK²+A'K²=a²-1+5²=a²+24
所以d₂=$\sqrt{{a}^{2}+24}$；
故答案为：$\sqrt{{a}^{2}+24}$；

探索归纳：
（1）①当a=4时，d₁=6，d₂=$\sqrt{40}$，d₁＜d₂；
②当a=6时，d₁=8，d₂=$\sqrt{60}$，d₁＞d₂；
故答案为：＜，＞；

（2）d₁²-d₂²=（a+2）²-（$\sqrt{{a}^{2}+24}$）²=4a-20．
①当4a-20＞0，即a＞5时，d₁²-d₂²＞0，
∴d₁-d₂＞0，
∴d₁＞d₂；
②当4a-20=0，即a=5时，d₁²-d₂²=0，
∴d₁-d₂=0，
∴d₁=d₂
③当4a-20＜0，即a＜5时，d₁²-d₂²＜0，
∴d₁-d₂＜0，
∴d₁＜d₂
综上可知：当a＞5时，选方案二；
当a=5时，选方案一或方案二；
当1＜a＜5时，选方案一．

点评 本题考查了轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，勾股定理的运用，数的大小的比较方法的运用，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法．