Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=∠APB=90°，AP=BP，AC=4，BC=3，则CP的长等于$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，得到四边形PFCE是矩形，求得∠EPF=90°，推出△PAE≌△PBF，根据全等三角形的性质得到PF=PE，得到矩形PFCE是正方形，求得BF=AE=0.5，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，
∵∠ACB=∠APB=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴∠EPF=90°，
∴∠FPB=∠APE，
在△PFB与△PAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠PEA=90°}\\{∠FPB=∠APE}\\{PB=PA}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PBF，
∴PF=PE，
∴矩形PFCE是正方形，
∴BF=AE=0.5，
∵∠ACP=∠BCP=45度，
∴△PCE为等腰直角三角形，
∵CE=$\frac{7}{2}$7/2，
∴CP=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形和正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．