Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，连接CD，BE，过点A作AF⊥BE交BC于F，过点F作FG⊥CD交CA于G．证明：
（1）∠AFB=∠GFC；
（2）AE=CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证△ACD≌△ABE，可得∠ACD=∠ABE，即可求得∠EBC=∠DCB，即可解题；
（2）设BE交CD于O，连接AO，易证△AOB≌△AOC，可得∠OAB=∠OAC=∠ACF=45°，即可求得∠ABE=∠CAF，即可证明△AOB≌△AFC，可得∠AOE=∠AFB=∠GFC，即可证明△AOE≌△CFG，即可解题．

解答：解：（1）在△ACD和△ABE中，

AB=AC ∠BAC=∠BAC AD=AE

，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ACD=∠ABE，
∴∠EBC=∠DCB，
∵∠EBC+∠AFB=90°，∠DCB+∠GFC=90°，
∴∠AFB=∠GFC；
（2）如图所示，设BE交CD于O，连接AO，

∵∠CBE=∠BCD，
∴OB=OC，
在△AOB和△AOC中，

AB=AC ∠ABE=∠ACD AO=AO

，
∴△AOB≌△AOC，（SAS）
∴∠OAB=∠OAC=∠ACF=45°，
∵AF⊥BE；∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
在△AOB和△AFC中，

∠ACB=∠BAO=45° AB=AC ∠ABE=∠CAF

，
∴△AOB≌△AFC，（ASA）
∴OA=CF，∠AOB=∠AFC，
∴∠AOE=∠AFB=∠GFC，
在△AOE和△CFG中，

∠OAE=∠ACB=45° AO=CF ∠AOE=∠GFC

，
∴△AOE≌△CFG（ASA），
∴AE=CG．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AOB≌△AOC和△AOB≌△AFC和△AOE≌△CFG是解题的关键．